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J. Phys. Colloques
Volume 39, Numéro C5, Août 1978
Rencontre entre physiciens et mathématiciens sur quelques problèmes non linéaires et leurs applications / Meeting between physicists and mathematicians about non-linear problems and their applications
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| Page(s) | C5-1 - C5-2 | |
| DOI | https://doi.org/10.1051/jphyscol:1978501 | |
J. Phys. Colloques 39 (1978) C5-1-C5-2
DOI: 10.1051/jphyscol:1978501
MORPHOGENÈSE DANS UN SYSTÈME DE DIFFUSION-RÉACTION
B. BUNOW1, M. C. DUBAN2, G. JOLY2, J. P. KERNEVEZ2 et D. THOMAS21 N.I.H., Bethesda, Maryland 20014, U.S.A.
2 U.T.C., B.P. 233, 60206 Compiègne, France
Résumé
Une enzyme immobilisée est représentée par : st - sxx = γf(s,a), at - βaxx = γg(s,a) où : f(s,a) = s0 - s - ρaF(s), g(s,a) = g(s,a) = α(a0 - a) - ρaF(s), F(s) = s/(1 + s + ks2). Les conditions aux limites sont : sx(0,t) = sx(1,t) = ax(1, t) = ax(0,t) = ax(1,t) = 0. s(x, t) et a(x, t) représentent les concentrations d'un substrat et d'un cosubstrat. γc est un paramètre positif, le paramètre de bifurcation. Pour γ inférieur à une valeur critique γc, le système possède un état stationnaire uniforme stable, les valeurs de s et a étant solutions de f(s,a) = 0, g(s,a) = 0. Pour γ > γc, cet état trivial perd sa stabilité et il apparaît d'autres états stationnaires stables, mais structurés en espace, proportionnels en première approximation à cos npx. L'analogie avec la morphogénèse est soulignée.
Abstract
An immobilized enzyme is represented by : st - sxx = γf(s,a), at - βaxx = γg(s,a) where : f(s,a) = s0 - s - ρaF(s), g(s,a) = g(s,a) = α(a0 - a) - ρaF(s), F(s) = s/(1 + s + ks2). The boundary conditions are : sx(0,t) = sx(1,t) = ax(1, t) = ax(0,t) = ax(1,t) = 0. s(x, t) and a(x, t) represent the concentration of a substrate and cosubstrate. γ is a positive parameter, the bifurcation parameter. For γ less than a critical value γc, the system possesses a uniform, stationary, stable state, the values of s and a being solutions for f(x,a) = 0 and g(s,a) = 0. For γ > γc this trivial state loses its stability and other stationary, stable states appear, these being structured in space and by first approximations, proportional to cos npx. The analogy with morphogenesis is thus pointed out.