NOVEL MATHEMATICAL METHODS IN SOLITON THEORY AND THEIR APPLICATION TO DISLOCATION MOVEMENT

Résumé
Presqu'en même temps, que la découverte des propriétés solitoniques de ce que l'on appelle l'équation de sine-Gordon (A. Seeger et collaborateurs 1950/53), en relation avec des applications à la théorie des dislocations, on s'intéressait à la généralisation suivante : ∂²Φ/ ∂x²-∂²Φ/ ∂t² =F (Φ) - s, où F(Φ) est une fonction périodique et s est une constante. Cette équation joue un rôle important dans la théorie du mouvement des dislocations cristallines sous une tension appliquée. En particulier, on s'intéresse à la vitesse de formation de paires de décrochement qui dépend de s et de la température. Pour le calcul de cette vitesse, on se voit confronté à des problèmes relatifs à la thermodynamique statistique, à la théorie des réactions chimiques, au comportement solitonique des solutions particulières de l'équation pré-citée, à la théorie des équations différentielles ordinaires, etc. L'exposé mettra les développements récents dans une perspective historique et discutera en particulier des nouveaux développements mathématiques pour la résolution des problèmes aux valeurs propres découlant de la linéarisation de l'équation pré-citée autour des solutions statiques particulières.

Abstract
Almost simultaneously with the discovery of the soliton properties of the so-called sine-Gordon equation (A. Seeger and collaborators 1950/53), in connection with applications to dislocation theory interest arose in the generalization ∂²Φ/ ∂x²-∂²Φ/ ∂t² =F (Φ) - s, where F(Φ) is a periodic function and s a constant representing an external stress. This equation plays an important rôle in the theory of the behaviour of dislocations in crystals under applied stress. A key problem is the calculation of the rate of formation of so-called kink pairs as a function of s and temperature. This involves statistical thermodynamics, rate theory, soliton behaviour of special solutions of the above mentioned equation, and the theory of ordinary differential equations. The paper puts recent developments in this field into historical perspective and discusses novel mathematical techniques for treating eigenvalue problems emerging from the linearization of the aforementioned equation in the neighbourhood of special static solutions.