Numéro
J. Phys. Colloques
Volume 50, Numéro C3, Mars 1989
5th Interdisciplinary Workshop Nonlinear Coherent Structures in Physics, Mechanics and Biological Systems
Page(s) C3-97 - C3-106
DOI https://doi.org/10.1051/jphyscol:1989315
5th Interdisciplinary Workshop Nonlinear Coherent Structures in Physics, Mechanics and Biological Systems

J. Phys. Colloques 50 (1989) C3-97-C3-106

DOI: 10.1051/jphyscol:1989315

WEAKLY PERIODIC STRUCTURES AND EXAMPLE

S. AUBRY

Laboratoire Léon Brillouin (CEA-CNRS), CEN-Saclay, F-91191 Gif-sur-Yvette Cedex, France


Résumé
Les états fondamentaux de modèles de structure non quantique, dont l'Hamiltonien est invariant par translation, sont faiblement périodiques quelque soit la dimension finie de l'espace. En d'autres termes, étant donné une précision ε, pour chaque partie finie de la structure de l'état fondamental (bloc), il existe une distance R telle que le même bloc est retrouvé à la précision ε, dans toute boule de rayon R. Cette propriété reste vraie pour les états fondamentaux des modèles de pseudo-spins invariants par translation sur un réseau périodique ( avec ε=0) et dans ce cas, la réciproque peut être prouvée. Pour toute structure faiblement périodique C de pseudo-spins distribués sur un réseau périodique, il existe un Hamiltonien invariant par translation dont l'ensemble des états fondamentaux est entièrement engendré par la structure C, toutes ses translatées et leurs limites. Cette propriété est utilisée pour démontrer l'existence d'Hamiltoniens invariants par translation dont l'état fondamental qui est unique (mis à part les glissements de phases) est une structure récemment étudiée et qualifiée d'intermédiaire entre quasi-périodique et aléatoire. Son facteur de structure ne possède pas de pics de Dirac mais seulement des "quasi-pics" avec des lois d'échelle et un spectre présumé singulier continu. Ceci est le premier exemple connu d'un état fondamental, qui est ni périodique, ni quasi-périodique sans pour autant être aléatoire.


Abstract
Models for non-quantum structures with translationally invariant Hamiltonian in any finite dimension space, have ground-states which are weakly periodic. In other words, for any finite piece of the ground-state structure (block) and some given accuracy ε, then there exists a length R, such that the same block is found again (within this accuracy ε) in any bail with radius R. This property is also true for the ground-state of any translationally invariant pseudo spin models on a lattice (but with ε=0) where the reciprocal property can also be proven. For any weakly periodic structure C of pseudospins on a periodic lattice, there exists a translationally invariant Hamiltonian which has this configuration C, all the translated configurations of C and all their limits as equivalent ground-states and there exists no other ground-state for this Hamiltonian. This property is used for proving the existence of a translationally invariant hamiltonian for which the unique ground-state (apart phase shifts) is a recently studied structure intermediate between quasiperiodic and random. Its structure factor has no Dirac peaks but has "quasi-peaks" with scaling properties and is presumably a singular continuous spectrum. This is the first known example of ground-state which is neither periodic nor quasi periodic although not random.