TOPOLOGICAL OBSERVATIONS IN CHOLESTERIC LIQUIDS

Résumé
Après un bref rappel de la définition des structures nématiques et cholestériques, on montre que la non-polarité du milieu permet la formation de discontinuités linéaires. Le long d'un circuit fermé autour de l'une de ces lignes, un vecteur unitaire n parallèle aux molécules est transformé dans le vecteur opposé mais équivalent - n. Ces lignes également appelées fils fins sont des disinclinaisons de Moebius. Des rubans de Moebius ont été également observés dans le milieu au microscope à contraste de phase [1]. Quand un liquide cholestérique remplit l'espace entre deux verres frottés, l'un cylindrique et l'autre plan, avec une génératrice de contact, un système de fils parallèles se stabilise [2]. Les fils fins sont visibles au voisinage de la génératrice de contact et sont des lignes de Moebius. Les fils épais sont observables à plus grande distance et correspondent au lieu des molécules parallèles à l'axe du microscope. Chaque fil est associé à une dislocation coin avec un vecteur de Burgers égal au demi-pas hélicoïdal p/2 pour les fils fins et le pas entier p pour les fils épais [3]. Le niveau de ces dislocations coin peut changer de deux manières : les dislocations coin peuvent former des arcs hélicoïdaux qui suivent la torsion cholestérique ; les dislocations coin présentent également des décrochements qui ont des configurations variées [2]. Les dislocations coin correspondent à une distribution discontinue de l'axe cholestérique. L'arrangement des molécules est discontinu autour des fils fins et continu autour des fils épais. Les décrochements peuvent être étudiés par une méthode d'équivalence topologique [2]. Les défauts de Moebius ont été observés dans de nombreux systèmes biologiques (tissus squelettiques, chromosomes). Certains de ces défauts ont une signification fonctionnelle. L'étude des singularités dans les systèmes biologiques est intéressante dans ce sens qu'elle offre des informations sur la structure elle-même et sa morphogenèse. Le défaut correspond à une expérience naturelle de morphogenèse avec un minimum d'artefacts.

Abstract
After a brief recall of the definition of nematic and cholesteric structures, it is shown that the non-polarity of the medium allows linear discontinuities to appear. Along a close circuit around one of these lines, a unit vector n parallel to the molecules is carried into the opposite, but equivalent vector - n. These lines also called thin threads are Moebius disclinations. Moebius strips have been observed in the medium with a phase contrast microscope [1]. When a cholesteric liquid fills the space between two rubbed glasses, a cylindrical one and a planar one with a contact generator, a system of parallel threads stabilizes [2]. Thin threads are visible in the vicinity of the contact generator and are Moebius lines. Thick threads are observable at a greater distance and correspond to the locus of molecules parallel to the microscope axis. Each thread is associated to an edge-dislocation with a Burgers vector equal to the half-helicoïdal pitch p/2 for thin threads and the whole pitch p for the thick threads [3]. The level of these edge-dislocations can change in two ways : the edge dislocations can form helical arcs which follow the cholesteric twist ; the edge dislocations also present kinks which have various configurations [2]. The edge-dislocations correspond to a discontinuous distribution of the cholesteric axis in general. The arrangement of molecules is discontinuous around the thin threads and continuous around the thick ones. The kinks can be studied by a method of topological equivalence [2]. Moebius defects have been observed in numerous biological systems (skeletal tissues, chromosomes). Some of these defects have a functional significance. The study of singularities in biological systems is interesting in that sense it affords much information about the structure itself and its morphogenesis. The defect is a natural experiment with a minimum of artefacts.