TECHNIQUES DE FERMETURE EN TURBULENCE FLUIDE ET PLASMA

Résumé
Lorsqu'on cherche à obtenir des équations fermées au niveau des moments d'ordre deux, une des principales difficultés concerne la réalisabilité et les lois de conservation : pour être acceptable une fermeture doit (au moins) conduire à des spectres non négatifs et avoir les mêmes lois de conservation que les équations primitives (Navier-Stokes, Vlasov, ...). Cette difficulté est maintenant surmontée grâce aux travaux de Kraichnan, d'Orszag et d'autres [1-5]. On se heurte ensuite à une difficulté d'un autre ordre : résoudre analytiquement ou numériquement les équations fermées ainsi obtenues. Dans le cas de l'équation de Vlasov ces équations sont connues [6] mais pas du tout étudiées ; la principale raison est que dans le cas le plus simple (version Markovianisée des équations de la référence [6]) on travaille avec la fonction de distribution à deux points, deux vitesses et un temps ; les hypothèses d'homogénéité et d'isotropie permettent de se ramener à une fonction de sept variables scalaires (cas tridimensionnel) ; le seul espoir est de se débarrasser des variables de vitesses, ce qui nécessite une hypothèse de fermeture supplémentaire. Laquelle ? Dans le cas des fluides, par contre, de nombreux résultats ont été obtenus [7-10]. Un cas particulièrement intéressant, car lié au plasma centre-guide, est celui de la turbulence bidimensionnelle [8,11] qui conduit à une cascade inverse de l'énergie, des petites vers les grandes échelles. Faute d'avoir pris en compte la conservation exacte de l'énergie, la fermeture proposée par Dupree [12] ne reproduit pas cet intéressant phénomène.

Abstract
When looking for a closed set of equations at the level of second order moments, one of the main difficulties is the realizability and the conservation laws : to be acceptable, a closure must (at least) lead to non-negative spectra, and show the same conservation laws as the primitive equations (Navier-Stokes, Vlasov, ...). This difficulty is now overcome, due to the work of Kraichnan, Orszag, and others [1-5]. One is then faced with another type of difficulty : to solve analytically or numerically the closed equations thus obtained. In the case of the Vlasov equation, these equations are known [6], but have not been investigated at all. The main reason for this is that in the simplest case (Markovian version of the equations of reference [6]) one works with the two points - two velocities - and one time - distribution function. The homogeneity and isotropy hypotheses allow a reduction to a function of seven scalar variables (three dimensional case). The only hope is to get rid of the velocity variables, which requires a further closure hypothesis, but which one ? However, in the case of a fluid, numerous results have been obtained [7-10]. Bidimensional turbulence [8, 11] is a particularly interesting case, since it is related to the guiding center plasma ; and leads to an inverse energy cascade, from small to large scales. The closure proposed by Dupree [12] does not reproduce this interesting phenomenon, since it did not allow for exact energy conservation.