APPROXIMATION DES PHASES ALÉATOIRES ET DE L'ÉLARGISSEMENT DE RÉSONANCE EN TURBULENCE FAIBLE DES PLASMAS

Résumé
Nous étudions d'abord comme modèles d'équations de turbulence faible des équations stochastiques de la forme [MATH]a = γ₀ [MATH].a ; [MATH] est un opérateur différentiel linéaire sûr, S une fonction stochastique donnée. Les équations de Dyson et Bethe-Salpeter donnent l'évolution de < a > et < aa* >. Dans le cas purement temporel où S est caractérisé par un temps de corrélation τ_c, nous retrouvons la condition de validité de l'approximation dite de Bourret γ ²₀ τ ²_c < |S|²> << 1. Nous considérons ensuite le cas spatio-temporel avec les 2 exemples suivants : i) la théorie quasi linéaire : en supposant le champ électrique extérieurement donné et dans les conditions de turbulence faible ω²_b τ ²_c << 1, nous montrons que d'une part la théorie linéaire non renormalisée ne diverge pas, et que d'autre part il n'est pas consistant de retenir les termes d'élargissement de résonance. Ces termes apparaissent d'ailleurs naturellement sans renormalisation dans les équations de la fonction de corrélation et ne sont autres que ceux de l'effet Landau non linéaire. ii) Les instabilités paramétriques en présence de turbulence. Dans ce cas nous pouvons établir exactement les conditions de validité de l'approximation de Bourret dans le cas spatio-temporel. Nous montrons en particulier qu'il existe des cas où elle n'est pas valide, aussi petit que soit le temps de corrélation. Nous établissons aussi de façon précise les équations dites des phases aléatoires. Nous montrons que le comportement de l'interaction entre ondes ne peut pas être décidé a priori de type cohérent ou incohérent mais dépend de la nature de l'instabilité considérée et peut être différent pour < a > et < aa* >.

Abstract
First we study stochastic equations of the [MATH].a = γ₀ [MATH].a as a model describing weak turbulence ([MATH] is a non random differential operator, [MATH] is a given stochastic function). The evolutions of < a > and < aa* > are given by Dyson and Bethe-Salpeter equations. In the purely temporal case, with τ _c as the characteristic autocorrelation time of S, we recover the validity conditions of the so-called Bourret approximation γ ²₀ τ ²_c < |S|²> << 1. Next, we consider the space and time case with the two following problems : i) the quasi-linear theory : when the electric field is considered as externally given, and in the frame of the weak turbulence theory ω ²_b τ ²_c << 1, we establish that no divergence and no secular term occur ; moreover we show that the resonance broadening terms cannot be self-consistently retained at this order of the theory. On the other hand, these terms appear without any renormalization in the study of the correlation function and are identified to non linear Landau damping. ii) Parametric instabilities in the presence of turbulence. In this problem we are able to establish exactly the validity conditions of the Bourret approximation in the space and time case. We show that this approximation is not always valid, whatever small the correlation time. We establish in a precise way the usual Randomphase equations. The behaviour of the waves is then shown to be either coherent or incoherent depending on the type of the instability. For absolute instability a significant difference is also found between < a > and < aa* >.