GEOMETRY AND FLUCTUATIONS OF SURFACES

Résumé
On décrit les surfaces comme des mousses bidimensionelles aléatoires. duales de la représentation en "filet de pêcheur". Géométrie et fluctuations sont dues à des transformations topologiques élémentaires, qui sont aussi les "collisions" responsables de leur équilibre statistique. Ce dernier est caractérisé par quelques relations observables (Aboav. Lewis). La surface et sa dynamique peuvent être représentées comme un problème à N corps avec interactions à courte portée (modèle de H. Telley). Les N=C corps sont des paraboloides attachés aux C cellules de la mousse, mais dans un espace à une dimension de plus que l'espace physique. Les transformations topologiques élémentaires correspondent alors à des mouvements simples et orthogonaux de ces paraboloides. Le modèle de Telley a des symétries remarquables, en particulier la stéréologie (il est identique à sa propre coupure). Il décrit aussi parfaitement l'évolution de diverses mousses naturelles (savon, frittage de mosaiques polycristallines, croissance de tissus biologiques ou déposition de films amorphes). Il autorise enfin des fluctuations locales de courbure, allant jusqu'à un changement du genre de la surface.

Abstract
Surfaces are described as a two-dimensional random froth, the dual of the "fisherman's net". Its geometry and fluctuations are seen as local, elementary topological transformations (dissociation and motion of dislocations and disclinations). These transformations are the "collisions" responsible for statistical equilibrium of the structure, characterized by observable relations (Aboav. Lewis). The surface and its dynamics can be represented as a many-body problem with short-ranged interactions (Telley). The discrete bodies are paraboloids attached to the cells of the froth, with one additional degree of freedom beside their position in physical space. Elementary topological transformations are caused by simple and orthogonal motions of the bodies. Telley's model has remarkable symmetries, notably stereology (it is identical to its cut). It also describes quantitatively the evolution of many natural froths (soaps, sintering of polycrystalline mosaics, growth of biological tissues, deposition of amorphous films). As a Hamiltonian. it allows for local curvature fluctuations, leading to change of genus.