ESTIMATIONS RIGOUREUSES DE n-GRAPHES DE MAYER ET APPLICATIONS

Résumé
On a mis au point des méthodes rigoureuses pour obtenir des estimations précises de n-graphes de Mayer généraux, qui sont valables pour des systèmes neutres, polaires ou ionisés. Elles sont obtenues à l'aide de majorants et minorants qui tiennent compte de la structure topologique détaillée des graphes, et leur précision peut être basse, modérée ou élevée selon que l'on utilise des invariants de graphes, des algorithmes ou une méthode de Monte Carlo. Par exemple, on obtient la borne très simple ([MATH])^p-1 pour un 1-graphe à p points et l lignes f(r) identiques, à l'aide d'arbres maximaux du graphe. On peut obtenir, à l'aide de cycles, une borne plus précise. Pour le gaz gaussien, celle-ci surestime la valeur de tous les 1-graphes à 4, 9 et 15 points de 30 % et d'un facteur 25 et 3 x 10³ respectivement, alors que les majorants de Groeneveld les surestiment d'un facteur 8, 4 x 10⁸ et 10²¹ respectivement. Pour les systèmes ionisés à lignes e^-r/r, un majorant simple à l'aide de chaînes surestime le 2-graphe élémentaire [MATH] d'un facteur compris entre 1 et 3, uniformément en r, alors que la borne de Groeneveld est divergente. On a trouvé aussi la décroissance à l'infini de 2-graphes quelconques, et des majorants uniformes en r avec la bonne décroissance. Tout cela permet de construire les corrections à la longueur de Debye aux hautes densités, de calculer ou de borner des coefficients du viriel inaccessibles par d'autres méthodes, et constitue une première étape nécessaire pour une étude quantitative rigoureuse des systèmes ionisés, en particulier pour prouver la convergence des séries de Mayer.

Abstract
We have developed rigorous methods to obtain precise estimates of general Mayer n-graphs, which are valid for polar, ionized and neutral systems. These are obtained by means of upper and lower bounds which take into account the detailed topological structure of the graphs. They can have a low, moderate or high precision, according as one makes use of graph invariants, algorithms or Monte Carlo methods. For example, one finds the very simple bound : ([MATH])^p-1 for a 1-graph with p points and l identical lines f(r), by means of maximal trees of the graph. One can obtain, by means of cycles, more precise bounds. For the gaussian gas, these overestimate the value of all the 1-graphs with 4, 9 and 15 points by 30 %, a factor 25 and 3 x 10³ respectively, while the Groeneveld bounds overestimate these 1-graphs by a factor 8,4 x 10⁸ and 10²¹ respectively. For ionized systems with lines e^-r/r, a simple bound by means of cycles overestimate the simplest elementary 2-graph [MATH] by a factor lying between 1 and 3, uniformly in r, while the Groeneveld bound is divergent. We have also found the decay at infinity of any 2-graphs, and uniform upper bounds with the correct decay. This enables one to construct high density corrections to the Debye length, to calculate or bound virial coefficients inaccessible by other methods, and is a first necessary step for a rigorous and quantitative study of ionized systems, in particular to prove the convergence of the Mayer series.