DYNAMICS OF ELECTROHYDRODYNAMIC INSTABILITIES IN NEMATIC LIQUID CRYSTALS

Résumé
Nous étudions le problème des instabilités électrohydrodynamiques dans les cristaux liquides nématiques en orientation planaire, dans le contexte du modèle à une dimension proposé par Dubois-Violette, de Gennes et Parodi. Dans la première partie de cet article, nous résolvons analytiquement les équations du mouvement pour un champ électrique appliqué E dont la dépendance temporelle est une onde carrée de fréquence ν. Notre solution couvre tout le domaine des paramètres du matériau, y compris le cas où l'anisotropie diélectrique est positive ou négative, et est valide pour 0 ≤ ν ≤ 10 kHz pour un matériau typique. On obtient ainsi une détermination de la courbe du seuil d'instabilité qui montre en particulier que le seuil du régime de conduction est une courbe fermée régulière dans le plan E - ν, et dont la forme dépend du temps de relaxation diélectrique t, du temps de relaxation viscoélastique T_H et du paramètre de gain de Helfrich ζ². Nous traitons le cas pour toute épaisseur d'échantillon d et nous montrons que pour des échantillons suffisamment minces tels que T^H(∝ d²) < τζ²/(ζ² - 1), la boucle du seuil du régime de conduction rétrécit et disparaît, le régime se prolongeant ainsi jusqu'à ν = 0. Nous traitons aussi, en une analyse très simple, le cas des non-linéarités et de la saturation qui apparaissent quand le champ appliqué est au-dessus du seuil. Nous sommes alors en mesure d'expliquer le mode du réseau à pas variable (qui a été observé expérimentalement), pour lequel la largeur des domaines est inversement proportionnelle au champ appliqué et peut varier d'un facteur dix au moins. Nous calculons aussi la vitesse de croissance (ou de décroissance) s d'une oscillation au voisinage du seuil, l'amplitude variant lentement comme exp st ; s est de l'ordre de τ^-1(E/E_T - 1) où E_T est le champ seuil. Le fait que nos résultats soient obtenus analytiquement plutôt que par des techniques de simulation numérique nous permet de donner une interprétation physique à nos prédictions. Dans la seconde partie, nous présentons quelques expériences que nous avons faites pour comparer à la théorie. Nous mesurons l'effet d'un champ extérieur stabilisant - qui diminue T_H - sur les courbes de seuil et nous mettons en évidence le quenching du régime conducteur dans un échantillon normal (épais), ce qui conduit à un régime diélectrique à fréquence nulle : ceci permet une mesure de ζ². Dans l'expérience contraire, nous observons l'effet de la décroissance de t due au vieillissement conduisant à l'apparition du régime conducteur dans un échantillon mince. Dans une autre série d'expériences, nous regardons les effets prétransitionnels. Nous mesurons directement s en mesurant la dépendance temporelle de la lumière diffusée par l'oscillation entretenue près du seuil ; une telle expérience nous permet de mesurer τ simplement et directement. Dans deux autres expériences, nous observons l'intensité (∝ s^-1) et la fonction d'autocorrélation de la lumière diffusée par les fluctuations thermiques près du seuil. Les expériences sont en accord satisfaisant avec la théorie. Nous présentons aussi quelques comparaisons avec les résultats expérimentaux d'autres chercheurs.

Abstract
We explore the problem of electrohydrodynamic instabilities in nematic liquid crystals in the parallel (planar) orientation, in the context of the one-dimensional time-dependent model proposed by Dubois-Violette, de Gennes and Parodi. In the first part of the paper, we solve the equations of motion analytically in the case of an applied electric field E whose time variation is a square wave of frequency ν. Our solution covers the entire range of material parameters, including explicitly the case of either positive or negative dielectric anisotropy, and is valid for 0 ≤ ν ≤ 10 kHz for typical materials. One result is a determination of the instability threshold curve, showing in particular that the conduction-regime threshold is a smooth closed curve in the E - ν plane whose shape depends on the dielectric relaxation time τ, the viscoelastic relaxation time T_H, and the Helfrich gain parameter ζ². We treat the case of any sample thickness d and show that for samples so thin that T_H (∝ d²) < τζ²/(ζ² - 1) the conduction-regime threshold loop shrinks and disappears, the dielectric regime then extending down to ν = 0. We also treat in a very simple analysis the case of non-linearities and saturation when the applied field is above threshold. We are thus able to account for the variable grating mode (which has been experimentally observed), in which the domain width is inversely proportional to the applied field over a factor of at least ten in domain width. We calculate also the growth (or decay) rate s of an oscillation near threshold, whose slowly varying amplitude goes as exp st ; s is of order τ^-1(E/E_T - 1) where E_T is the threshold field. The fact that our results are based on analytic rather than numerical simulation techniques allows us to give a physical interpretation to the predictions. In the second part of the paper, we present some experiments we have done for comparison with the theory. We measure the effect of an external stabilizing field, which decreases T_H, on the threshold curves and show the quenching of the conduction regime in a normal (thick) sample, leading to the zero-frequency dielectric regime : this allows a measure of ζ². In the converse experiment, we observe the effect of decreasing t due to ageing leading to the appearance of the conduction regime in a thin sample. In another series of experiments, we look at pre-transitional effects. In one experiment we measure s directly by observing the time dependence of light scattered from a forced oscillation near threshold ; such an experiment allows one to measure t simply and directly. In two other experiments, we observe the intensity (∝ s^-1) and autocorrelation function of light scattered by thermal fluctuations near threshold. The experiments are in satisfactory accord with theory. We also present some comparisons with experimental results of other workers.