PROPAGATING MODES OF A HETEROGENEOUS, MACRO-HOMOGENEOUS CONTINUUM

Résumé
Une méthode est développée pour calculer la dispersion des" phonons " dans un milieu hétérogène et macro-homogène. On définit une solution de l'équation d'ondes élastiques à l'intérieur d'un volume V, laquelle est périodique dans le temps et satisfait des conditions limites sur la surface Σ de V comme s'il s'agissait d'une onde plane. Le problème est mis sous forme d'une équation intégrale à l'aide de la fonction de Green d'un milieu" modèle " qui a une densité et un tenseur d'élasticité constants. Elle est mise dans une forme telle que la limite V → ∞ peut être effectuée. Un milieu" effectif " est défini en termes de la solution de cette équation intégrale, en prenant la moyenne dans l'espace de l'amplitude des ondes élastiques. Ceci donne une équation implicite pour la relation de dispersion. L'équation intégrale est approximée en utilisant une méthode d'inclusion par laquelle l'amplitude moyenne de l'onde est obtenue comme moyenne d'ensemble de solutions dans une petite région, incluse dans le milieu modèle. Les erreurs dues à cette méthode d'inclusion sont réduites au minimum en imposant que le milieu modèle et le milieu effectif approximatif soient identiques. Ceci donne une méthode itérative et self-consistante qui peut être approximée avec des méthodes numériques sans introduire de fonctions de corrélation.

Abstract
A method is developed to calculate the dispersion of propagating elastic modes in heterogeneous, macro-homogeneous media. A time-periodic solution of the wave equation is defined inside a volume V by imposing a plane-wave character on the boundary Σ completely surrounding V. The equation is transformed into an integral equation with use of a Green's function for a " model-medium ", with constant elastic coefficients and density. It is brought in such a form, that the limit V → ∞ can be taken. A uniform" effective medium " is defined, in terms of the solution of this integral equation, by taking the space average of the wave equation. This gives an implicit equation for the dispersion relation. An approximation analogous to the CPA is obtained. The integral equation is approximated in terms of an imbedding method, through which the average wave amplitude is obtained as an ensemble average of solutions for small neighbourhoods embedded in the model medium. By imposing the condition that the model-medium and the effective medium are identical, the errors of imbedding are minimized. This yields a self-consistent iterative procedure. The case of long wavelength or low density contrast leads to simplified equations analogous to those for the static limit. This case can be approximated with use of correlation functions, as shown elsewhere.